2019届上海市奉贤中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

发布于:2021-06-11 03:18:05

2018-2019 学年上海市奉贤中学高三上学期第一次月考数学 试题

一、单选题 1.下列命题为真命题的是( )

A.若

,则

B.若

,则

C.若 ,则 【答案】D

D.若

,则

【解析】试题分析:A 中当 时才成立;B 中若

,则

;C 中 时才成

立;D 中命题成立

【考点】不等式性质

2.设在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c , 若 b cosC ? c cos B ? a sin A ,

则 ?ABC 的形状为 ( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

【答案】B

C.钝角三角形

D.不确定

【解析】利用正弦定理可得 sin ?B ? C? ? sin2 A ,结合三角形内角和定理与诱导公式
可得 sin A ? 1, A ? ? ,从而可得结果. 2
【详解】
因为 bcosC ? ccos B ? asin A ,

所以由正弦定理可得 sin B cosC ? sin C cos B ? sin2 A ,

sin?B ? C? ? sin2 A ? sin A ? sin2 A,
所以 sin A ? 1, A ? ? ,所以是直角三角形. 2
【点睛】 本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具,其常见用 法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与 锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角 互化;(4)求三角形外接圆半径. 3.某学生对一些对数进行运算,如下图表格所示:

第 1 页 共 18 页

x 0.021

0.27

1.5

2.8

2a ? b ? c ?3 (1) 6a ?3b ? 2(2) 3a ?b ? c (3) 1? 2a ? 2b ? c (4) lgx

x3 2a ?b (5)
lgx

5 a ?c (6)

6

7

1? a ?b ? c (7) 2?a ? c? (8)

x8

9

14

3? 3a ? 3c (9) 4a ? 2b (10) 1? a ? 2b (11) lgx

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错,那么出错的数据是 ( )

A. ?3? , ?8?

B. ? 4? , ?11?

C. ?1? , ?3?

D. ?1? , ? 4?

【答案】A 【解析】【详解】试题分析:对于数据(4)(11)

数据正确,对于数据(1)(3),



误,对于(1)(4)

与(3)对应不起来,(1)(3)其中有错 ,结合图中的数据

正好对应出来, (1)(4)正确,故错误的为(3), 对于(8)(11)
lg14 ? lg7 ? 1? a ? 2b ? 2a ? 2c ? 1? 3a ? 2b ? 2c ? lg2 ? 1? a ? c ? 1? lg5,而(11)

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正确,故(8)错误 答案为 A. 【考点】对数的运算.
4.已知 y ? fi ? x? ? xai , i ? 1, 2??? 2019 为 2019 个不同的幂函数,有下列命题: ① 函数 y ? f1 ?x? ? f2 ?x? ????? ? ? f2019 x 必过定点 ?1, 2019? ; ② 函数 y ? f1 ?x? ? f2 ?x? ????? f2019 ?x ? 可能过点 ??1, 2018? ; ③ 若 a1 ? a2 ? ??? ? a2019 ? 2 ,则函数 y ? f1 ? x?? f2 ? x?????? ? ? f2019 x 为偶函数;

④ 对于任意的一组数 a1 、 a2 、…、 a2019 ,一定存在各不相同的1009 个数 i1 、 i2 、…、

? ? ?? ? ? ? ? i2019 ? 1、2、??? 2019 使得 y ? fi1 ? ? fi2 ??? fi2019 x 在 0, ?? 上为增函数.其中真命题

的个数为( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【答案】A

【解析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质,对四个命题分别进行判断,从而得

到答案. 【详解】

命题①,因为 y ? fi ? x? ? xai , i ? 1, 2??? 2019 为 2019 个不同的幂函数,

且幂函数都经过点 ?1,1? ,

所以可得函数 y ? f1 ? x? ? f2 ? x? ???? ? f2019 ? x? 的图像一定过点 ?1, 2019? ,所以正确; 命题②,幂函数,若定义域中可取负数时,则幂函数图像一定过 ??1, ?1? 或者 ??1,1?

y ? fi ? x? ? xai , i ? 1, 2??? 2019 为 2019 个不同的幂函数, 若这 2019 个不同的幂函数都过 ??1,1? ,则函数 y ? f1 ? x? ? f2 ? x? ???? ? ? ? f2019 x 的图 像过 ??1, 2019? ,

若这 2019 个不同的幂函数有一个不过 ??1,1? ,则这个幂函数必过 ??1, ?1? ,则函数

y ? f1 ? x? ? f2 ? x? ???? ? f2019 ?x? 的图像过 ??1, 2017? , 所以 y ? f1 ? x? ? f2 ? x? ???? ? f2019 ? x? 的图像不可能过 ??1, 2018? ,所以错误;

命题③若 a1 ? a2 ? ??? ? a2019 ? 2 ,若 a1,a2 , ??,?a2019 这 2019 个数中出现分子为奇数,分

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母为偶数的分数,则函数 y ? f1 ? x?? f2 ? x?????? ? ? f2019 x 的定义域为?0, ??? ,不关于原 点对称,所以函数 y ? f1 ? x?? f2 ? x?????? ? ? f2019 x 不为偶函数,所以错误.
命题④因为任意的一组数 a1 、a2 、…、a2019 ,一定存在各不相同的1009 个数 i1 、i2 、…、
i2019 ??1、2、??? 2019? ,
则当 a1, a2 ,???, a2019 这 2019 个数中出现 0 时,
? ? ? ??? y ? fi1 fi2 ??? fi2019 x ? aai1ai2 ???ai2019 ?1,此时 y 为常数函数,不是增函数,所以错误.
故选:A. 【点睛】 本题考查幂函数的图像特点,幂函数的奇偶性和单调性,属于中档题.

二、填空题
5.已知集合 A ? ?x 0 ? x ? 2? , B ? ?x ? x ?1?? x ?1? ? 0? ,则 A B ? ______;

【答案】 ???,?1? ?0,???

【解析】对集合 B 进行化简整理,然后与集合 A 取并集,得到答案.
【详解】
集合 B ? ?x ? x ?1??x ?1? ? 0? ? ???,?1? ??1,??? ,

集合 A ? ?x 0 ? x ? 2? ? ?0, 2?

所以 A B ? ???,?1? ?0,??? ,

故答案为: ???,?1? ?0,???.

【点睛】
本题考查解二次不等式,集合的并集运算,属于简单题.
6.不等式 x ? 2 ? 0 的解集为______; x?3
【答案】 ???,?3? ?2,???

【解析】将分式不等式等价变形为

??
?

x

?

2?

?

x

?

3?

?

0

,解出答案.

?x ?3 ? 0

【详解】

不等式 x ? 2 ? 0 , x?3

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?? x ? 2?? x ? 3? ? 0

等价为

? ?

x

?

3

?

0



?x ? ?3或x ? 2

解得

? ?

x

?

?3



所以解集为 ???,?3? ?2,???.

【点睛】

本题考查解分式不等式,属于简单题.

7.方程 4x ? 2x?1 ? 3 ? 0 的解是

.

【答案】 log2 3
【解析】【详解】
? ? ? ?? ? 2x 2 ? 2? 2x ? 3 ? 0 , 2x ?1 2x ? 3 ? 0 , 2x ? 3 , x ? log2 3 .

8.已知实数 x、y,命题“若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题是______;

【答案】若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0
【解析】先写出原命题的逆命题,再写出其逆否命题,得到答案. 【详解】
已知实数 x、y,命题“若 x ? 0 且 y ? 0,则 x ? y ? 0 ”

其逆命题为“若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0”

所以其逆否命题为“若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”.
【点睛】 本题考查根据原命题写逆否命题,属于简单题.
? ? 9.函数 y ? log0.3 x2 ? 3x ? 2 的单调增区间是______
【答案】 ???,1?
【解析】先判断出函数的定义域,再根据函数单调递增,外层函数单调递减,从而得到 复合函数内层应单调递减,从而得到答案. 【详解】
? ? y ? log0.3 x2 ? 3x ? 2 ,
则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ?1或 x ? 2 ,
所以函数的定义域为 ???,1? ??2, ??? ,
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设 t ? x2 ? 3x ? 2 ,则 y ? log0.3 t ,外层函数为减函数,
要求函数的单调增区间,则求内层函数的减区间

t

?

x2

?

3x

?

2

,在

? ??

??,

3 2

? ??

上单调递减,

? ? 综上可得,函数 y ? log0.3 x2 ? 3x ? 2 的单调增区间是 ???,1? ,

故答案为: ???,1?

【点睛】

本题考查求复合函数的单调区间,属于简单题.
10.已知 a??0,? ? , sin? ? cos? ? 1 ,则 cos 2? ? ______;
5 【答案】 ? 7
25 【解析】对 sin? ? cos? ? 1 *方,得到 sin? cos? ,根据其正负,缩小? 的范围,根
5
据1? 2sin? cos? ? ?sin? ? cos? ?2 ? 49 ,得到 sin? 和 cos? 的值,再根据二倍角
25
公式,求出 cos 2? 的值,得到答案.

【详解】

对 sin? ? cos? ? 1 两边*方, 5

得1? 2sin? cos? ? 1 ,即 2sin? cos? ? ? 24

25

25

由于 a??0,? ? ,且 sin? 和 cos? 异号,

可得 ?

? ???

? 2

,?

? ??

,所以 sin?

?

0,

cos?

?

0



所以1? 2sin? cos? ? 49 , 25

即 ?sin? ? cos? ?2 ? 49 ,
25

所以 sin? ? cos? ? 7 , 5

所以得 sin? ? 4 , cos? ? ? 3 ,

5

5

所以 cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 9 ? 16 ? ? 7 . 25 25 25
故答案为: ? 7 25

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【点睛】 本题考查同角三角函数关系,二倍角的余弦公式,三角函数在各象限的正负,属于简单 题.

11.若不等式 2x ? 3 ? t 的解集为(m,n),则 m? n ? ______;

【答案】3
【解析】根据题意可得 t ? 0 ,然后将不等式转化为 ?t ? 2x ? 3 ? t ,得到解集,对应得 到 m 和 n 的值,从而得到 m ? n的值.
【详解】

因为不等式 2x ? 3 ? t 的解集为(m,n)

所以可得 t ? 0 ,

所以可得 ?t ? 2x ? 3 ? t ,解得 3 ? t ? x ? 3 ? t ,

2

2

所以可得 m ? 3 ? t , n ? 3 ? t ,

2

2

所以 m ? n ? 3 ,

故答案为: 3 .

【点睛】

本题考查解绝对值不等式,属于简单题.

12.设 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时 f ? x? ? x2 ? sin x ?1,则 f ? x? 的

解析式为______;

??x2 ? sin x ?1, x ? 0

【答案】 f ? x? ? ??0, x ? 0

? ?

x2

?

sin

x

?

1,

x

?

0

【解析】根据设 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,可得 f ?0? ? 0,当 x ? 0 时, ?x ? 0 ,

代入到 f ? x? 解析式,得到 f ??x? ,再根据奇函数的性质得到 f ? x? ? ? f ??x? ,得到

答案. 【详解】
因为 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,所以可得 f ?0? ? 0,

当 x ? 0 时, ?x ? 0
而当 x ? 0 时 f ? x? ? x2 ? sin x ?1,

所以有 f ??x? ? x2 ? sin x ?1,

第 7 页 共 18 页

根据奇函数的性质,可得 f ? x? ? ? f ??x? ? ?x2 ? sin x ?1,

??x2 ? sin x ?1, x ? 0

综上可得 f ? x? ? ??0, x ? 0



? ?

x2

?

sin

x

?

1,

x

?

0

??x2 ? sin x ?1, x ? 0

故答案为: f ? x? ? ??0, x ? 0

.

? ?

x

2

?

sin

x

? 1,

x

?

0

【点睛】

本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式,属于中档题.
13.函数 f (x) ? 2sin(? x) ? 1 , x ?[?2, 4]的所有零点之和为 1? x
【答案】8

【解析】试题分析:设

,则

,原函数可化为

,其中

,因

. ,故 是

奇函数,观察函数





的图象可知,共有 4 个不同的交点,

故在

时有 8 个不同的交点,其横坐标之和为 0,即 t1 ? t2 ? ? t7 ? t8 ? 0 ,

从而 x1 ? x2 ? ? x7 ? x8 ? 8 .

【考点】1.函数零点;2.正弦函数、反比例函数.
14.设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、a ∈P b
(除数 b≠0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域;
③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域;
④数域必为无限集.
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其中正确的命题的序号是

.(填上你认为正确的命题的序号)

【答案】①④

【解析】【详解】

解:当 a=b 时,a-b=0、a b =1∈P,故可知①正确.

当 a=1,b=2, 1 ? Z 不满足条件,故可知②不正确. 2
对③当 M 中多一个元素 i 则会出现 1+i? M 所以它也不是一个数域;故可知③不正确. 根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确. 故答案为:①④.

15.已知 x 、 y 、 z ? R? , x ? 2y ? 3z ? 0 ,且 y2 ? txz ? 0 恒成立,则实数 t 最大值
是______; 【答案】3

【解析】将 y2 ? txz ? 0 恒成立,转化为 t ? y2 恒成立,根据条件得到 y ? x ? 3z ,则

xz

2

t ? ? x ? 3z?2 恒成立,根据基本不等式得到 ? x ? 3z?2 的最小值,从而得到 t 的范围,

4xz

4xz

得到答案.

【详解】

因为 y2 ? txz ? 0 恒成立,

所以 t ? y2 恒成立, xz

因为 x ? 2y ? 3z ? 0 ,

所以 y ? x ? 3z , 2

所以得到 t ? ? x ? 3z?2 恒成立,
4xz

?? x ? 3z?2 ?

即t ? ?

?

?? 4xz ??min

而 ? x ? 3z?2 ? x2 ? 6xz ? 9z2

4xz

4xz

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? x ? 9z ? 3 ? 2 x ? 9z ? 3 ? 3. 4z 4x 2 4z 4x 2
当且仅当 x = 9z ,即 x ? 3z 时,等号成立. 4z 4x
所以 t≤3,即 t 的最大值为 3 . 故答案为: 3 .
【点睛】 本题考查不等式恒成立问题,利用基本不等式求和的最小值,属于中档题.
? ? 16.当 x、y∈(0,1)时, min 8?x,8x?y ,8y?1 的最大值是______.

【答案】 1 2

? ? 【解析】 min 8?x,8x?y ,8y?1 ,花括号内三个数的底数相同,则对其指数进行比较,当

?x 为最小时,得到 x ? 1 ,并求出最小值 8?x 的最大值,然后讨论当 0 ? x ? 1 时,分

3

3

别研究当 x ? y 最小,和 y ?1最小时,对应的范围,从而得到每种情况下的最大值,并

对三中情况进行判断,从而得到结果. 【详解】
? ? x、y∈(0,1)时, min 8?x,8x?y ,8y?1

可知花括号内三个数的底数相同,则对其指数进行比较,

①当

?

x

为最小时,

??x ???x

? ?

x y

? ?

y 1

,得

? ? ?

y y

? ?

2x 1?

x

所以1? x ? 2x ,即 x ? 1 , 3

? ? 此时 min 8?x ,8x?y ,8y?1

? 8?x

?1
?8 3

?

1



2

当 0 ? x ? 1 ,则 y ?1或者 x ? y 为最小, 3

②当 y ?1为最小时, y ?1 ? x ? y ,则 y ? 1? x , 2

y

?1

?

1

?

x

?1

?

1

?

1 3

?1

?

?

1

2

2

3

? ? 此时 min 8?x ,8x?y ,8y?1

? 8y?1

?1
?8 3

?

1



2

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③当 x ? y 为最小时, x ? y ? y ?1,则 y ? 1? x , 2

x

?

y

?

x

?

? ??

1

? 2

x

? ??

?

?

1 2

?

x 2

?

?

1 3

? ? 此时 min 8?x ,8x?y ,8y?1

? 8x?y

?1
?8 3

?

1



2

? ? 所以,综上所述, min 8?x,8x?y ,8y?1 的最大值为 1 , 2

故答案为: 1 . 2
【点睛】 本题考查运用函数思想解决问题,考查了函数的值域,不等式的性质,对抽象思维要求 较高,属于难题.

三、解答题
? ? ? ? 17.设集合 A ? x x2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x2 ? ?m ?1? x ? m ? 0 ,
C ? ?x 2a ?1? x ? a?
(1)若 B ? A ,求实数 m 的值; (2)若 C ? A 为空集,求实数 a 的取值范围。 【答案】(1)m=1 或 2;(2) a ? ?2 或 a ? 0 【解析】(1)化简集合 A 和集合 B ,然后根据 B ? A ,得到答案;(2)C ? A 为空集, 先考虑 C ? A 不为空集,得到 a 的不等式,得到 a 的范围,再取其补集,得到 C ? A 为 空集时, a 的取值范围,得到答案.
【详解】
? ? (1)集合 A ? x x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ??2, ?1?, ? ? 集合 B ? x x2 ? ?m ?1? x ? m ? 0 ? ??1, ?m?
因为 B ? A , 所以当集合 B 只有一个元素 ?1时,即 ?m ? ?1, m ? 1, 当集合 B 有两个元素时, ?m ? ?2 , m ? 2 , 所以 m 的值为1或 2 ;
(2)集合 A ? ??2,?1? ,集合 C ? ?x 2a ?1 ? x ? a?,
当 C ? A 不为空集时,得到 2a ?1? ?1? a 或 2a ?1? ?2 ? a
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解得 ?1? a ? 0或 ?2 ? a ? ? 1 , 2
所以得到 a 的范围为 ?2 ? a ? 0 ,

因此若 A C 为空集,则 a ? ?2 或 a ? 0 .

【点睛】

本题考查由集合的包含关系求参数的值,根据集合交集运算的结果求参数范围,属于简

单题.

18.(1)已知 a, b 为正实数, a ? b, x ? 0, y ? 0 ,试比较 a2 ? b2 和 ?a ? b?2 的大小;

xy

x? y

并指出两式相等的条件;

(2)求函数 f ? x? ? 2 ? 9
x 1? 2x



x

?

? ??

0,

1 2

? ??

的最小值.

【答案】(1)当 ay=bx 时,两式相等;(2)最小值 25

【解析】(1)对 a2 ? b2 和 ? a ? b?2 进行作差,判断出其结果的正负,得到答案;(2)

xy

x? y

根据(1)的结论,将所求的 f ? x? ? 2 ? 9 配凑成(1)中的形式,得到答案.
x 1? 2x
【详解】

(1)作差比较: a2 ? b2 ? ?a ? b?2 ? ?ay ? bx?2 . x y x ? y xy ? x ? y?

又因为 a, b 为正实数,且 a ? b, x ? 0, y ? 0

所以

?ay ? bx?2 xy ? x ? y?

?

0

所以 a2 ? b2 ? ?a ? b?2 .
x y x?y

当且仅当 ay ? bx 时,两式相等.
(2)根据(1)得到的结论可得,
函数 f ? x? ? 2 ? 9
x 1? 2x
? 4 ? 9 ? ?2 ? 3?2 ? 25 .
2x 1? 2x 2x ?1? 2x

当 2?1? 2x? ? 3?2x

,即

x

?

1 5

?

? ??

0,

1 2

? ??

时,函数取得最小值,为

25

.

【点睛】

第 12 页 共 18 页

本题考查作差法比较大小,求函数的最小值,属于简单题. 19.某创业投资公司投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 100 万元的投资
收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:①奖金 y (单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加;②奖金不超过 9 万元;③奖金不超过投资收益的 20%.

(1)若建立函数 y ? f ? x? 模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数

f ? x? 模型的基本要求,并分析函数 y ? x ? 2 是否符合公司要求的奖励函数模型,
150
并说明原因;

(2)若该公司采用模型函数 y ? 10x ? 3a 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的 x?2
值.

【答案】(1)该函数模型不符合公司要求,见解析;(2)328

【解析】(1)根据题意,把方案①,②,③按数学语言将函数模型描述出来,并判断函

数 y ? x ? 2 是否能满足三个方案要求,得到答案;(2)令函数 y ? 10x ? 3a 分别满

150

x?2

足三个方法,得到对应的 a 的不等式,分别解出 a 的范围,然后得到答案.

【详解】

(1)设奖励函数模型为 y ? f ? x? ,按公司对函数模型的基本要求,

函数 y ? f ? x? 满足:

当 x??10,1000?时,

① f ? x? 是在定义域?10,1000? 上是增函数;

② f ? x? ? 9恒成立;

③ f ? x? ? x 恒成立.
5
对于函数模型 f ? x? ? x ? 2 ;
150
当 x??10,1000?时,f(x)是增函数,

f

? x?max

?

f

?1000?

? 1000 150

?2?

20 3

? 2 ? 9.

所以 f ? x? ? 9恒成立.

但 x ?10 时, f ?10? ? 1 ? 2 ? 10 ,即 f ? x? ? x 不恒成立,

15

5

5

故该函数模型不符合公司要求.

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(2)对于函数模型 f ? x? ? 10x ? 3a ,
x?2
即 f ? x? ? 10 ? 3a ? 20 ,
x?2
对于①,则当 3a ? 20 ? 0 ,即 a ? ? 20 时, f ? x? 递增;
3
对于②,则要使 f ? x? ? 9对 x??10,1000?恒成立,
即 f ?1000? ? 9 ,即 3a ?18 ?1000 ,解得 a ? 982 ;
3
为要 f ? x? ? x 对 x??10,1000?恒成立,
5 即 10x ? 3a ? x , x2 ? 48x ?15a ? 0 恒成立,
x?2 5 所以 ? ? 0 ,即 482 ? 4?15a ? 0 ,解得 a ? 192 .
5 综上所述, a ? 982 ,
3 所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 328 .
【点睛】
本题考查利用函数模型解决实际问题,根据函数的单调性求参数范围,不等式恒成立问
题,属于中档题.

20.已知关于 x 的不等式 kx2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 的解集为 M . (1)若 M ? R ,求 k 的取值范围;
(2)若存在两个不相等负实数 a, b ,使得 M ? ???,a? ??b,??? ,求实数 k 的取值范

围;

(3)若恰有三个整数 n1 、 n2 、 n3 在集合 M 中,求 k 的取值范围.

【答案】(1)

k

?

? ??

0,

1 2

? ??

;(2)

k

?

? ??

1 2

,1???

;(3)

k

?

?

1 2

【解析】(1)根据解集 M ? R ,分为 k ? 0 和 k ? 0 进行讨论,分别得到 k 的范围,得

到答案;(2)根据解集 M ? ???,a? ??b,??? ,可得 k ? 0, ? ? 0 ,根据 a, b 为两个不

相等负实数,得到 x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ,根据韦达定理,得到 k 的不等式,解出 k 的范

围,得到答案;(3)根据解集中恰有 3 个整数,得到 k ? 0 ,设 f ? x? ? kx2 ? 2kx ? k ?1

并判断出 x ? 0, ?1满足题意,根据对称性得到 x ? ?2 也满足,则要求 x ?1 时,

f ?1? ? 0,从而得到关于 k 的不等式,解出 k 的范围,得到答案.

【详解】

第 14 页 共 18 页

(1)不等式 kx2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 ,其解集 M ? R

①当 k ? 0 时,1 ? 0 恒成立,符合题意;

②当

k

?

0 时,则

?k ???

? ?

0 0

,即

?k ? ??4k 2

0 ?

4k

??k

?1?

?

0

解得

k

?

? ??

0,

1 2

? ??

综上所述:

k

?

???0,

1 2

? ??

(2)因为不等式 kx2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 的解集为 M ? ???,a? ??b,??? ,

且 a, b 为两个不相等负实数,

可得

?k ? 0

??? ? 0

? ?

x1

?

x2

??x1x2 ?

? 0

0

,即

?k ? 0

???4k 2 ? 4k ??2 ? 0

? ? ??

?k ? k

1

?

??k
0

? 1?

?

0

?k ? 0

解得

? ??k 0或k ?

1 2

?k ? R ?

??0 ? k ? 1

综上可得,

k

?

? ??

1 2

,1???

.

(3)解集中恰有 3 个整数,可得 k ? 0

设 f ? x? ? kx2 ? 2kx ? k ?1,开口向下,对称轴为 x ? ?1 ,

可得 f ?0? ? ?k ?1? 0, f ??1? ? ?2k ?1? 0

可知解集中的三个整数一定有 0 和 ?1,
根据二次函数的对称性得到,还有一个整数一定为 ?2 ,

此时已满足解集中恰有三个整数,则要求

?? ? ??

f f

?1? ? ? ?3?

0 ?

0

,即

?k ? 2k ? k ?1 ? 0 ??9k ? 6k ? k ?1 ? 0

解得 k ? ? 1 2

【点睛】

第 15 页 共 18 页

本题考查不等式恒成立,根据二次不等式的解集求参数范围,二次函数图像与性质,根 的分布,属于中档题.
21.已知函数 f ? x? ? x2 ? ax ? 3? a , a ? R

(1)求 a 的取值范围,使 y ? f ? x? 在闭区间??1,3? 上存在反函数;

(2)当 0 ? x ? 2时,函数 y ? f ? x? 的最小值是关于 a 的函数 m?a? ,求 m?a? 的最大
值及其相应的 a 值;
(3)对于 a ? R ,研究函数 y ? f ? x? 的图像与函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图像公共点的个
数,并写出公共点的横坐标.
【答案】(1) a ? ?6 或 a ? 2 ;(2)当 a ? ?2 时,最大值 4 ; (3)当 a ? ?6 时,公共点有 2 个,横坐标为1,3 ;

当 a ? 2 时,公共点有 2 个,横坐标为1, ?1;
当 a ? 2 或 a ? ?2 或 a ? ?6 时,公共点有1个,横坐标为1, 当 ?2 ? a ? 2或 ?6 ? a ? ?2 时,公共点有 3 个,横坐标为1, ? a , a ? 6 .
2 a?2
【解析】(1)根据 y ? f ? x? 在闭区间??1,3? 上存在反函数,则 f ? x? 在??1,3? 上单调,
从而得到关于 a 的不等式,求出 a 的范围;(2)动轴定区间,按照 a ? 0 , - 4 < a < 0 ,
a ? 0 ,分别研究函数 f ? x? 的最小值,然后得到 m?a? ,在分段研究 m?a? 的最大值,
得到答案;(3) 【详解】
(1)函数 f ? x? ? x2 ? ax ? 3? a 图像的对称轴为 x ? ? a .
2
因为 f ? x? 在闭区间??1,3? 上是存在反函数,

所以 f ? x? 在闭区间??1,3? 上是单调函数,

所以得到 ? a ? ?1或 ? a ? 3.

2

2

故 a ? ?6 或 a ? 2 .

(2)函数 f ? x? ? x2 ? ax ? 3? a , x ??0, 2?,图像的对称轴为 x ? ? a
2
当 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? x? 在 x ??0, 2?上单调递增,
2

所以 f ? x? ? m?a? ? f ?0? ? 3? a ; min

第 16 页 共 18 页

当 0 ? ? a ? 2 ,即 ?4 ? a ? 0 时, 2

f

?x?在

???0, ?

a? 2 ??

上单调递减,在

? ??

?

a 2

,

2

? ??

上单调递增,

f

? x?min

?

m?a? ?

f

? ??

?

a 2

? ??

?

?

1 4

a

2

?a?3

当 ? a ? 2 ,即 a < - 4 时, f ? x? 在 x ??0, 2?上单调递减,
2

f ?x? ? m?a? ? f ?2? ? a ? 7 min

?a ? 7, a ? ?4

所以,

m

?

a

?

?

???? ?

1 4

a2

?

a

?

3,

?4

?

a

?

0

??3 ? a, a ? 0

当 a < - 4 时, m?a? ? a ? 7 单调递增,所以 m?a? ? 3 ,

当 ?4 ? a ? 0时, m?a? ? ? 1 a2 ? a ? 3 ,开口向下,对称轴为 a ? ?2 ,
4
所以在 a ? ?2 时候 m?a? 有最大值为 m??2? ? ? 1 ???2?2 ? 2 ? 3 ? 4 ,
4
当 a ? 0 时, m?a? ? 3? a 单调递减,在 a ? 0 时, m?a? 有最大值, m?0? ? 3,

综上所述,当 a ? ?2 时, m?a? 有最大值,为 4 .

(3)公共点的横坐标 x 满足 x2 ? ax ? 3 ? a ? x2 ? 2x ? 3 .

即 x 是方程 a? x ?1? ? x2 ? 2x ? 3 ? x2 ? 3 的实数解.

设 h?x? ? x2 ? 2x ?3 ? x2 ?3 ,

则直线 y ? a? x ?1? 与 y ? h? x? 有公共点时的横坐标与上述问题等价.

①当 x ? ?1 或 x ? 3 时, h? x? ? x2 ? 2x ? 3 ? x2 ? 3 ? ?2x ? 6 ;

解方程 ?2x ? 6 ? a? x ?1? 即 ?a ? 2? x ? a ? 6 ,
得 x ? a ? 6 , a ? ?2 ; a?2
②当 ?1? x ? 3 时, h? x? ? x2 ? 2x ? 3 ? x2 ? 3 ? ?2x2 ? 2x .

解方程 ?2x2 ? 2x ? a? x ?1? 即 2x2 ? ?a ? 2? x ? a ? 0 ,
得 x ? ? a 或 x ?1; 2

第 17 页 共 18 页

若 a ? 6 ? ? a ,则 a ? ?6 或 a ? 2 , a?2 2
当 a ? ?6 时,公共点有 2 个,横坐标为1,3 ;

当 a ? 2 时,公共点有 2 个,横坐标为1, ?1.

若 a ? 6 ????, ?1? ?3, ??? ,则 a???6,?2? ??2,2?
a?2

若 ?1 ? ? a ? 3,则 a ???6, 2?
2

当 a ? 2 或 a ? ?2 或 a ? ?6 时, x ? a ? 6 和 x ? ? a 不在对应的 x 的范围内,

a?2

2

则公共点有1个,横坐标为1,

当 ?2 ? a ? 2或 ?6 ? a ? ?2 时,x ? a ? 6 和 x ? ? a 都在对应的 x 的范围内,且不相等,

a?2

2

则公共点有 3 个,横坐标为1, ? a , a ? 6 2 a?2

综上所述,

当 a ? ?6 时,公共点有 2 个,横坐标为1,3 ;

当 a ? 2 时,公共点有 2 个,横坐标为1, ?1;
当 a ? 2 或 a ? ?2 或 a ? ?6 时,公共点有1个,横坐标为1, 当 ?2 ? a ? 2或 ?6 ? a ? ?2 时,公共点有 3 个,横坐标为1, ? a , a ? 6 .
2 a?2
【点睛】 本题考查求反函数,动轴定区间求二次函数的最值,分段函数求最值,函数与方程,涉 及分类讨论的数学思想,属于难题.

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